Physics in Biology and Medicine

Third Edition

Paul Davidovits

1 Static Forces

力學(Mechanics)是物理學的分支: 研究力對移動物體的影響

1.1 Equilibrium(平衡) and Stability

A body is in static equilibrium(靜平衡) if the vectorial sum（向量合)） of both the forces and the torques（力矩） acting on the body is zero.

This weight of a body can be considered a force acting through a single point: the center of mass(質心) or center of gravity(c.g).

The position of the center of mass with respect to the base of support（質心相對於支撐點的位置） determines whether the body is stable or not.

1.2 Equilibrium Considerations for the Human Body

The center of gravity shifts as the person moves and bends.

• 沒有外力施加在人身時, 人在Equilibrium(平衡)狀態 .
因為人的質心在支撐點上
• 施加一個外力Fa將會翻倒人, 使支撐樞紐點的位置變成A
• 逆時鐘力矩

Ta = Fa x 1.5 m

• 順時鐘力矩

Tw = W x 0.1m

• 可計算出使支撐樞紐點的位置變成A時所需施加的外力Fa

        Ta = Tw

Fa x 1.5 m = W x 0.1 m 
           = M x g x 1.5

1.3 Stability of the Human Body under the Action of an External Force

1.4 Skeletal Muscles(骨骼肌)

1.5 Levers(槓桿)

fulcrum(支點)。

平衡的條件

   W x d1 = F x d2

the force F required to balance a load of weight W is given by:

  W = F x d2 / d1

若因力矩不平衡而轉動時

由垂直移動的長度(L1, L2)計算出兩點垂直的移動速度(v1, v2)比

L1:L2 = d1:d2

v1:v2 = (d1/t) : (d2/t)
      = d1 : d2

1.6 The Elbow(手肘)

三頭肌(triceps)的收縮導致伸展，或肘部張開，而二頭肌(biceps)收縮則關閉肘部。

A weight W held in the hand with the elbow bent at a 100 ◦ angle.
Fm: 二頭肌(biceps)的拉力
Fr: 三頭肌(biceps)的反作用力
以槓桿來圖示:

平衡的條件:

3個未知數可由3個方程式解出.

若θ = 72.6◦, 則 Fm = 10.5 W. 二頭肌施力是重物的10.5倍

Our calculations show that the forces exerted on the joint and by the muscle are large. In fact, the force exerted by the muscle is much greater than the weight it holds up.

1.7 The Hip(臀)

臀部使用一組肌肉來穩定它的接點, 以Fm表示肌肉總合的出力. 當人站直時 此力的方向與水平差71◦
臀關節(hip joint)的受力以FR表示.
腿的總重量以WL表示. 一般來說, WL = 0.185 W

平衡的條件:

由3個方程式解出當人垂直站立時:

• 肌肉總合的出力
Fm = 1.59 W
• 臀關節的受力
FR = 2.37 W

1.7.1 Limping(跛行)

在髖關節發育不良症狀的早期，跛行很常見。跛行的最常見原因是疼痛。 但是，由於肌肉虛弱，關節僵硬，骨骼變形，因跛行可減輕疼痛，所以可能會出現無痛的跛行。

跛行為了使身體的重心移至髖關節正上方的位置，從而減小了對受傷區域的作用力。

1.8 The Back

當軀幹(trunk)向前彎曲60度時，

• 脊柱(spine)的支點A在第五個腰椎
• AB是背長
• W1(=320N)是背的重量, 均勻分佈, 視為集中在1/2處
• W2(=160N)是頭和手臂的重量
• 豎脊肌在脊柱向上2/3(two-thirds)處維持背的位置, 以CD表示
• 在脊椎和豎脊肌之間角為12度

Solution:

• 豎脊肌的施力是 2000 N
• 脊柱(spine)的支點A的壓力是2230 N

當頭上多了20 KG?

1.9 Standing Tip-Toe on One Foot

1.10 Dynamic Aspects of Posture

2 Friction(摩擦力)

When two surfaces are in contact, there is a resistance to the sliding or moving of one surface on the other.
This resistance is called friction.

• the static coefficient of friction: μs
最大靜磨擦力是使物體能開始移動的力. 推力小於最大靜磨擦力時, 推力就等於摩擦力
• the kinetic coefficient of friction: μk
物體移動中使用動摩擦係數

2.1 Standing at an Incline(傾斜)

和斜面平行的下滑力Fp決定是否下滑:

• 下滑力Fp < 最大靜磨擦力
靜止, 磨擦力 = 下滑力Fp
• 下滑力Fp > 最大靜磨擦力
開始滑動, 磨擦力 = 最大靜磨擦力

滑行中, 磨擦力 = 動磨擦力

2.2 Friction at the Hip Joint(髖關節)

當運動時，對關節產生很大的力會造成摩擦，除非關節潤滑良好，否則可能會造成損壞。現在研究潤滑對人的髖關節的影響。

• 當人垂直站立時，臀關節的受力約為2.37倍的體重
• 在每一步中，關節旋轉大約60度。
• 由於關節的半徑約為3厘米，因此每步中，關節都會在插槽內滑動約3 cm。

關節上的摩擦力為: Ff = (2.37 W) μ

2.3 Spine Fin(脊鰭) of a Catfish(鯰魚)

儘管在大多數情況下，骨骼接觸表面的良好潤滑是必不可少的，但在自然界中，有少數情況下故意不潤滑骨骼接觸以增加摩擦。 鯰魚的有一個關節可把背脊鰭與骨骼的其餘部分相連
通常情況下，鰭片會向身體平放，但是當魚類受到攻擊時，適當的肌肉會將鰭片的骨頭拉入下方骨骼中的空間。 由於鰭骨與骨骼之間的摩擦係數很高，因此摩擦力
傾向於將鰭片鎖定在向上位置。 為了取下鰭片，必須在相對於下面的骨架為主的垂直方向上施加力。 直立的鰭阻止捕食者吃eating魚。

3 Translational Motion

In general, the motion(運動) of a body can be described in terms of translational(移動) and rotational(轉動) motion.
It is convenient, however, to discuss these motions separately.
In the special case of uniform acceleration（等加速度, 加速度不變）,

3.1 Vertical Jump

• body's weight W
• the center of gravity is lowered by a distance c
• the legs generate a force having a constant average value F

• The net upward force on the jumper is (F − W)
• v0 = 0

實驗表明，一個健壯的人產生的平均反作用力是他/她體重的兩倍: F = 2W
在這種情況下，跳躍高度: H = c
c是身體蹲下時重心的降低高度, 與腿的長度成正比。
人類的c平均值為0.6 m.

3.2 Effect of Gravity on the Vertical Jump(重力對垂直起跳的影響)

例如，月球的引力常數是地球的六分之一； 因此，給定物體在月球上的重量是其在地球上重量的六分之一。
一個普遍的錯誤假設是，人在月球上可以跳到的高度(6 H ?)與體重的減少(W/6)成正比。

使身體向上加速的力F取決於身體的力量腿部肌肉, 假設F = 2W
H' = 11 H
人在月球上可以跳到的高度是在地球上的11倍, 不只6倍！

3.3 Running High Jump(跳高)

跳高的世界紀錄約為2.3 m. 比立定跳多出的額外高度是藉由跑的動能來轉換成位能以提高重心離地。

除了因動能轉換位能而增加的高度, 還要考慮另兩個因素增加1.6 m:

• 在離地前由腿部下推時產生的0.6 m
• 一個人的重心已經在離地面約1 m的位置

3.4 Range of a Projectile(拋射物)

3.5 Standing Broad Jump(立定跳遠)

加速度取決於兩個力的合力：

• 重力的向下力
僅等於他的體重
• 腳產生的力
可以施加在任何方向

為了使跳躍距離最大，發射速度(合力Fr)的方向應與地面成45度角。
假設運動員的雙腳可以產生的力量等於體重W的兩倍。
Fr的水平及重直分力分別為:

解聯立方程式可得

• 最佳起跳的角度
θ = 65.8 ◦
• 最佳起跳的合力
Fr = 1.16W

計算依此最佳起跳條件能產生的拋射最大水平距離:

• 先計算合力Fr引起的加速度a,
• 假設合力Fr影響人的距離是類似蹲下時重心的降低高度s = 0.6 m
• 由合力Fr可以計算出離地前拋出的速度,
• 接著計算拋射水平距離.

3.6 Running Broad Jump (Long Jump)

假設跳遠選手的腿可產生下推(push-off)力2W以提供發射速度的垂直分量
所以垂直合力產生的垂直加速度為

a = F/m = (2W - W)/m = W/m = (m g )/m = g

假設垂直合力影響人的距離是類似蹲下時重心的降低高度s = 0.6 m
可計算出垂直速度分量:

讓我們假設跳遠選手以10 m / sec的全速啟跳。可依此計算出起跳速度及起跳角度:

有了起跳速度及起跳角度, 便可計算出水平距離:

目前跳遠的世界紀錄，男子約9 m, 女子約7.5 m。這個估計是合理

3.7 Motion through Air

空氣阻力的影響不是可以忽略的, 這是因為空氣中流體的摩擦
阻力增加會隨著速度和沿著運動方向的表面積而增大。
空氣阻力可以公式表示:

• C
空氣摩擦係數。
• A
運動接觸空氣的面積
• v
物體空氣中的速度

有兩種力會作用在自由落體上:

• 開始
初速為0, 空氣阻力為0, 只有重力作用
• 落下過程
空氣阻力隨速度增加而增加0. 當空氣阻力等於重力時0, 加速度為0, 速度不再變化, 物體這時落下的速度稱為終端速度(terminal velocity) Vt.

3.8 Energy Consumed in Physical Activity

在給定活動期間內單位時間消耗的能量稱為代謝率(metabolic rate)。
肌肉的運作只有轉換20％的能量,其餘的80%在轉換過程中以熱量消散。

4 Angular Motion

等速率圓周運動中的物體:

• 他的速率是固定的,但是速度的方向永遠是在圓的切線方向
• 加速度永遠往圓心, 稱為向心加速度(centripetal acceleration).
  

向心(centrifugal)力:

4.1 Forces on a Curved Path

考慮重量為W的汽車在彎曲(曲率半徑為R的道路)平面上移動, 當汽車快要打滑時，離心力就等於摩擦力:

傾斜的道路可提高彎道上的安全速度。 如果道路正確地傾斜，可以不用摩擦力就可以防止打滑

作用於汽車的反作用力Fn必須垂直於接觸的路面。它的垂直及水平分量必須抵銷重力及向心力, 由此可以計算出路面要傾斜的角度以防止打滑:

4.2 A Runner on a Curved Track

跑步者轉彎時，她傾斜朝向旋轉中心產生的合力必須抵銷體重和反向心力.

假設瞬時速率是6.7 m/sec(4分鐘完成1600m), 田徑場的跑道半徑為15 m, 得到的θ = 17度

4.3 Pendulum(鐘擺)

動物的四肢運動可以藉由鐘擺運動來分析

• 擺錘來回擺動一次(from A to A' and back to A)所花的時間稱為週期T
這種來回運動稱為簡諧運動(simple harmonic motion)。
• 一秒內擺動的次數稱為頻率f

如果位移的角度很小，則周期可以經由推導得出一個近似值:

其中

• g是重力加速度
• l是擺臂的長

隨著擺的擺動，位能和動能之間會不斷交換:

• 在擺盪的兩端，擺是暫時靜止的
在這裡，它的能量完全是位能的形式。 此時，由於重力的作用，擺錘開始向中心返回。
• 返回至中心的過程中
加速度與擺動路徑成正比，隨著擺向中心加速，其速度增加，位能轉化為動能
• 在中心的位置
在這裡，位能完全轉化為動能。得到最大的切向加速度，最大的速度

A是水平擺動距離一半

4.4 Walking

假設一個人一分鐘走120步(2 steps/sec), 一步90 cm 所以,此人的步行速度為:

90 cm × 2 steps/sec = 1.8 m/sec

以簡諧運動來分析人的走路, 可以求得接觸地面時的最大速度及加速度:

所以,

• 接觸地面時的最大速度是步行速度的3倍
• 接觸地面時的最大加速度是重力加速度(g)的3.6倍

4.5 Physical Pendulum(實際的擺)

鐘擺不是實際的擺 因為實際的擺臂(不像線)是有質量而且不可忽略的:

經由複雜的推導後, 實際的擺臂, 它的週期T為:

其中

• I ： 擺點繞樞軸O轉動的慣性動量
• W ： 擺的總重
• r ： 重心到樞軸點的距離

4.6 Speed of Walking and Running

在自然行走中，擺動的力矩主要是由重力引起，可用簡諧運動來分析人的走路 在快速運動中，力矩主要由肌肉產生。

4.7 Energy Expended in Running

4.8 Alternate Perspectives on Walking And Running

4.9 Carrying Loads

Chapter 5 Elasticity and Strength of Materials, 材料的彈性和強度

力對物體形狀的影響. 彈性（Elasticity）是物體的特性，去除力後傾向於使物體恢復到原始形狀。

5.1 Longitudinal Stretch(縱向拉伸) and Compression(壓縮)

物體的cohesive force(內聚力)阻擋拉伸物體的外力

應變(strain)是單位長度的伸長量，因此應變為一個比值，沒有單位。 虎克定律: 當物體在有彈性的狀態下, 壓力和應變成正比.

這個比值Y稱為楊氏模數(Young’s modulus). 許多物質的楊氏模數被測量出並且也測出打破這些物質所需施的力.

力的單位:

• 牛頓(N): 1 kg·m/s²
• 達因(dyne): 1 g·cm/s²

5.2 A Spring(彈簧)

拉伸（或壓縮）彈簧所需的力F與拉伸量成正比

• K is called the spring constant(彈簧常數) .
• A stretched (or compressed) spring contains potential energy(位能) E

從彈簧的例子可以推論出: 一個被伸展或壓縮的物體, 它儲存的能量為:

5.3 Bone Fracture(骨折): Energy Considerations

了解身體各部分可以安全地吸收的最大能量, 可以使我們能夠估計各種情況下受傷的可能性。 Assume:

• a bone of area A and length l
• 骨頭在骨折前仍保有彈性
• 已知骨頭的楊氏模數及骨折的瞬間壓力Sb

As an example,

所以, 一支腿骨最大吸收192.5 J, 兩支腿骨可最大吸收385 J.

一個70-kg的人從高度56 cm處跳下, 由位能mgh(70 x 9.8 x 0.56 = 384.16)轉換所得到的能量. 若此位能完全由骨頭吸收, 有可能骨折

5.4 Impulsive Forces(衝力)

在突然的碰撞中，短時間內會施加很大的力在被碰撞的對象。 力從零開始，增加到最大值，然後再次減小到零。 在碰撞過程中, 平均的作用力:

5.5 Fracture Due to a Fall: Impulsive Force Considerations

因墜落導致的骨折：需要考慮脈衝力 若一個人質量為m, 從高度h墜落, 可推導出所受的平均脈衝力:

若平均脈衝力大於骨折所需的力, 就會發生骨折. 假設

• 人的質量為70 kg
• 碰撞地面持續的時間為0.01 sec
• 發生骨折所需的力(Fb)可由碰撞時的接觸面積和骨折所需的壓力（查表）計算出
假設碰撞的接觸面積= 2 (cm*cm) (根據著地的特性，面積可以更大或更小)

由此可計算出此人墜地時會造成骨折的高度:

5.6 Airbags: Inflating Collision Protection Devices

安全氣囊：充氣防撞裝置. 安全氣袋位於汽車儀表板上。發生碰撞時，袋子突然膨脹以減緩對乘客的撞擊。 為了避免與汽車的堅硬表面接觸，乘客的向前運動必須在大約30厘米內停止

5.7 Whiplash Injury

急晃造成的傷害 頸部的肌肉反應不夠快，使得所有的能量被頸部骨頭吸收了

5.8 Falling from Great Height

從高處墜落. 有報導說有人跳下飛機降落傘無法打開，但由於降落在軟雪上而得以倖存。 可以透過計算在著陸期間作用在身體上的衝擊力來驗證報告。

5.9 Osteoarthritis and Exercise

骨關節炎與運動 普遍懷疑骨關節炎是由於日常重複走路及跑步的衝擊所造成的損害 每周跑20至40公里的風險似乎很小。

Rocket Propulsion(火箭推進)

分析火箭的運動，火箭透過燃燒運載的燃料並噴射燃燒的廢氣而加速（從而改變其動量），從而使其沿與噴射燃料的速度相反的方向加速.

• 太空深處, 充滿燃料的火箭飛船的總質量 m0(該質量包括燃料的初始質量)
由於火箭位於深空，因此沒有外力作用於該系統. 所以，該系統的動量得以保持。
• 在某個時刻，火箭具有一定的速度v和質量M
M = "空火箭的質量" + "剩餘未燃燒燃料的質量"。 我們將m稱為“瞬時質量”，v稱為“瞬時速度”。

如果燃料的燃燒速率是恆定的，並且排出廢氣(exhaust)的速度也是恆定的，那麼，由於燃燒所有燃料，火箭的速度會發生什麼變化？ 由於部分燃料向左排出，火箭向右加速。 動量守恆使我們能夠決定速度的改變。 質量m是火箭的瞬時總質量（即當時的火箭體質量加燃料質量）。 我們將火箭的瞬時速度定義為vi, 因此系統的瞬時動量為:

pi = M * vi

火箭發動機以恆定速率燃燒燃料，並沿-x方向排氣。 在無窮小時間間隔dt內，發動機噴射出（正）無窮小氣體dm的順時速度為-u 因此，廢氣具有速度(v-u). 由於燃料氣體的噴射，火箭的質量降低了dmg，其速度提高了dv, 該系統的最終動量是:

p火箭     +    p氣體
= (M−Mg)*(v+dv) +  Mg * (v-u)

動量守恆定律:

Mv = (M−Mg)*(v+dv) + Mg * (v-u)
     = (M - Mg) * v + (M - Mg) * dv + Mg * v - Mg * u
     = M*v - Mg * v + M * dv - Mg * dv + Mg * v - Mg * u
     = Mv + M * dv - Mg * dv - Mg *u

  M*dv = Mg * dv + Mg * u

因為Mg和dv非常小, Mg * dv 跟其它項比就可以被忽略. 所以

M*dv = u*Mg

Mg代表所噴射氣體的質量，也必須代表火箭減少的質量：

Mg = -dm
  M*dv = -u*dm
  dv = -(u/M)*dm

它告訴我們火箭透過燃燒大量燃料而獲得的速度變化

Chapter 6 Insect Flight

通常，鳥類和昆蟲的飛行是一種複雜的現象。 以下討論已高度簡化，但仍說明了飛行的一些基本物理原理。 我們將考慮昆蟲的盤旋飛行(Hovering Flight)

6.1 Hovering Flight

在翅膀向上運動期間，重力使昆蟲掉落。 然後，向下的翅膀運動會產生向上的力，從而使昆蟲恢復到原來的位置。 因此，昆蟲的垂直位置會以翅膀拍的頻率上下波動。 為了簡化計算，我們假設翅膀向下移動時產生的升力為有限常數，翅膀向上移動時升力為零。 在翅膀向上移動的時間間隔Δt內，昆蟲在重力的作用下(自由落體)下降了距離h。

假設昆蟲重直改變的距離小於 0.1 mm (i.e., h=0.1mm), 計算昆蟲可自由落下的最長時間:

由於翅膀的向上運動和向下運動的持續時間大致相等，因此完整的翅膀上下運動的周期T為Δt的兩倍.

T = 2 Δt = 0.009 sec

翅膀拍動的頻率f，即每秒拍動翅膀的次數為

f = 1/T = 1/0.009 = 110

6.2 Insect Wing Muscles

翅膀運動受許多肌肉控制:

• 翅膀的向上運動是由肌肉A的收縮產生的，它使胸部的下部受壓並使附接的翅膀向上運動
當肌肉A收縮時，肌肉B放鬆。
• 向下的翅膀運動是由肌肉B收縮而肌肉A放鬆而產生的。

昆蟲的翅膀肌肉需要以很高的速率拍打翅膀。這是通過翅膀的槓桿機制實現的。測量顯示，在翅膀擺動約70度時，肌肉A和B僅要收縮2％。

6.3 Power Required for Hovering

盤旋所需的功率.

在翅膀下拍的衝程中,

• 施加在兩個翅膀的平均力, Fav , 是兩倍昆蟲的體重: 2W.
  
  
• 翅膀中心橫越垂直距離d

每次翅膀向下拍的衝程中,昆蟲完成的總工作量

Work = Fav × d = 2Wd

假設:

• 昆蟲的質量m = 0.1 g
• 翅膀長度為1cm
d = 0.57 cm
• 翅膀擺動70度

因此，在每個衝程中由兩個翅膀所作的功:

Work = 2 × (0.1 × 980) × 0.57 = 112 erg

erg(耳格)是能量的單位, 相當於使用 cm–gram–second (CGS)單位系統所做的功

1 erg = 1 dyn⋅cm 

m–kg–second (MKS)單位系統能量的單位是焦耳(J). 1焦耳等於施加1牛頓作用力經過1米距離所需的能量.

昆蟲的質心移動的距離(0.01 cm)相對於翅膀拍動的距離(0.57 cm)很小 所以可忽略昆蟲質心位能的變化. 功率是指1秒鐘內完成的工作量。 我們的昆蟲每秒做110次向下拍； 因此，昆蟲做的功率P為

P = 112 erg × 110/sec 
   = 1.23 × 10000 erg/sec
   = 1.23 × 0.001 W

6.4 Kinetic Energy of Wings in Flight

翅膀在飛行中的動能. 翅膀是有輕微的質量, 因為翅膀是旋轉運動，每個翅膀在衝程中的最大動能:

6.5 Elasticity of Wings

翅膀的彈性.

翅膀的加速需要獲得動能，這是由肌肉提供的。 當衝程結束時翅膀在減速，動能由肌肉自身消散並轉化為熱量。 這些昆蟲的翅膀關節含有一層彈性的，類似橡膠的蛋白質，稱為彈性蛋白(resilin).

在翅膀的上拍期間，彈性蛋白被拉伸。 翅膀的動能轉換為位能而儲存在拉伸的彈性蛋白中，像彈簧一樣存儲能量. 當機翼向下拍時，該能量被釋放並有助於向下拍. 使用一些簡化的假設，我們可以計算出存儲在拉伸的彈性蛋白中的能量:

• 假設彈性蛋白是面積為A和長度l的直桿
• 在整個拉伸過程中，彈性蛋白都遵守胡克定律